Structure · Béton armé
Calcul d'une semelle isolée — méthode des bielles
1 Charges
1.35G + 1.5Q — pour ferraillage
G + Q — pour dimensions sol
0.2 MPa = 200 kPa = 2 bars
2 Section du poteau
La semelle conserve l'homothétie du poteau : A/B = a/b
3 Matériaux & exposition
Méthode des bielles — semelle rigide isolée. Pré-dimensionnement d'une semelle isolée centrée sous poteau, par la méthode classique des bielles (EC2 + EC7). La contrainte admissible du sol doit être validée par une étude géotechnique (G2 PRO).
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Calcul d'une semelle de fondation isolée sous poteau : dimensions en plan à partir de la contrainte admissible du sol (ELS), hauteur utile par la condition de rigidité, et ferraillage de la nappe par la méthode des bielles (ELU).
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Tout comprendre sur le calcul d'une semelle isolée
La semelle isolée est la fondation superficielle d'un poteau : elle élargit la section porteuse pour ramener la pression transmise au sol sous sa contrainte admissible. Son calcul croise deux normes : l'Eurocode 7 (NF EN 1997-1) pour l'interaction sol-fondation et l'Eurocode 2 (NF EN 1992-1-1) pour le ferraillage du béton armé.
D'où vient la méthode des bielles
La méthode des bielles n'est pas une méthode des Eurocodes : elle figurait en annexe du DTU 13.12 (P 11-711, mars 1988), « Règles pour le calcul des fondations superficielles », annulé depuis par le NF DTU 13.1 de septembre 2019. Elle reste l'usage français dominant pour les semelles rigides courantes, et rejoint le modèle bielles-tirants de l'EC2 (§6.5). Deux conditions d'emploi l'accompagnent depuis l'origine : la pression sous la semelle doit pouvoir être considérée comme uniforme, et la section du poteau doit être homothétique de celle de la semelle.
C'est aussi pourquoi vous rencontrerez la même formule sous deux jeux de notations. Les cours et exercices écrits en BAEL parlent de Nu, Nser, fe et γs ; les Eurocodes parlent de NEd, NEd,ser, fyk et γS. Les grandeurs sont les mêmes : Nu = NEd = 1,35G + 1,5Q et Nser = NEd,ser = G + Q. Un exercice rédigé en BAEL se saisit tel quel dans l'outil.
Pourquoi deux états de charges ?
L'EC7 dimensionne le contact sol-béton à l'ELS (G + Q) : c'est la pression réellement appliquée au sol qui gouverne les tassements et la capacité portante. L'EC2 dimensionne le béton et les aciers à l'ELU (1,35G + 1,5Q) : c'est la rupture des matériaux qui est visée. Cette dualité ELS/ELU est caractéristique des fondations : c'est pourquoi l'outil demande les deux efforts. Si vous partez de zéro, l'outil Descente de Charges (EC1) calcule ces deux valeurs et les transmet directement à cette page.
Semelle rigide et condition de rigidité
Dans une semelle rigide, la charge du poteau descend au sol par des bielles de béton comprimées, inclinées depuis la base du poteau vers les bords de la semelle. La poussée horizontale de ces bielles est équilibrée par un tirant : la nappe d'aciers inférieure. Pour que ce fonctionnement soit géométriquement possible, la hauteur utile doit respecter d ≥ (A−a)/4. Dans la tradition de la méthode des bielles, cette condition dispense de vérifier le cisaillement et la compression des bielles, et d'ajouter des cadres ou des barres relevées. Une vérification menée strictement selon l'EC2 demanderait en plus un contrôle du poinçonnement à moins de 2·d du poteau (§6.4.4) — que cet outil ne conduit pas.
Homothétie et poids propre : deux subtilités du calcul
L'outil conserve l'homothétie entre le poteau et la semelle (A/B = a/b), qui est la condition d'emploi de la méthode. Elle n'égalise pas les débords : sur un poteau rectangulaire, le débord reste proportionnel au côté correspondant, un poteau 40 × 20 cm débordant deux fois plus dans le grand sens.
L'outil intègre aussi le poids propre de la semelle (25 kN/m³) dans la pression appliquée au sol : comme ce poids dépend des dimensions recherchées, le calcul est itéré jusqu'à convergence. Le négliger est une erreur classique. Sur l'exemple par défaut de l'outil, la semelle pèse 32,5 kN, soit 6,3 % de la charge de service — assez pour faire basculer un cas limite. Sur sol faible, c'est bien davantage : à 1 600 kN sur un sol à 0,15 MPa, la semelle finit à 3,55 × 3,55 m sur 90 cm d'épaisseur et pèse à elle seule 284 kN, soit 17,7 % de la charge portée.
Contrainte admissible du sol : les ordres de grandeur
La contrainte admissible σadm est la donnée qui pilote tout le dimensionnement en plan : à charge égale, passer de 0,15 à 0,30 MPa divise presque par deux la surface de la semelle. Elle doit provenir de l'étude géotechnique de conception — la mission G2 au sens de la NF P 94-500. Les valeurs ci-dessous sont des repères de pratique courante pour l'avant-projet, et non des valeurs normatives : elles servent à cadrer un ordre de grandeur, jamais à remplacer l'étude de sol.
| Nature du sol | σadm indicative | Remarque |
|---|---|---|
| Argile molle, vase, remblai récent | 0 – 50 kPa | Fondation superficielle généralement à écarter |
| Argile plastique, limon | 50 – 150 kPa | Sensible au retrait-gonflement |
| Sable lâche, argile ferme | 100 – 200 kPa | — |
| Argile raide, sable moyennement dense | 200 – 300 kPa | — |
| Sable dense, grave | 300 – 500 kPa | — |
| Marne compacte, roche altérée | 500 – 1000 kPa | — |
| Roche saine | > 1000 kPa | Rarement dimensionnant |
Rappel d'unités : 100 kPa = 0,1 MPa = 1 bar ≈ 10 tonnes par mètre carré. L'outil se saisit en MPa.
Comment calculer une semelle isolée ? La méthode pas à pas
L'idée générale tient en une phrase : on élargit d'abord la semelle jusqu'à ce que le sol supporte la pression (étape 1), on lui donne ensuite assez d'épaisseur pour qu'elle soit rigide (étape 2), puis on met en fond de semelle les aciers qui l'empêchent de s'ouvrir (étapes 3 et 4). Détail de chaque étape :
Trouver les dimensions en plan (A × B)
Une pression, c'est une force divisée par une surface. Le sol accepte au maximum σadm : il faut donc une surface au moins égale à la charge divisée par cette pression admissible. La charge à prendre est celle de l'ELS (G + Q, sans coefficients), en ajoutant le poids de la semelle elle-même (PP), car le sol le porte aussi :
Surface portante à l'ELS
N_Ed,ser : effort de service G + Q (kN) · PP : poids propre de la semelle (kN, 25 kN/m³) · σ_adm : contrainte admissible du sol (kPa)
Exemple : 520 kN sur un sol à 0,2 MPa (= 200 kN/m²) → il faut au moins 520 / 200 = 2,60 m², soit un carré d'environ 1,62 m de côté. On garde les mêmes proportions que le poteau (A/B = a/b), condition d'emploi de la méthode des bielles, et on arrondit au 5 cm supérieur pour la cote d'exécution. Petit piège : le poids propre PP dépend des dimensions qu'on cherche, donc l'outil refait le calcul en boucle jusqu'à ce que la surface adoptée couvre la charge augmentée de ce poids.
Donner de la hauteur à la semelle
Pour que la méthode des bielles fonctionne, la semelle doit être rigide : la règle est simple, la hauteur utile d doit valoir au moins le quart du débord (le débord = ce qui dépasse du poteau de chaque côté) :
Condition de rigidité
d : hauteur utile, du nu supérieur à l'axe de la nappe inférieure (m) · A, B : côtés de la semelle (m) · a, b : côtés du poteau (m)
En clair : plus la semelle déborde, plus elle doit être épaisse. La hauteur totale s'obtient en ajoutant l'enrobage et un demi-diamètre de barre : h = d + enrobage + Φ/2, arrondie au 5 cm supérieur. L'outil suppose une nappe HA12 tant que le ferraillage n'est pas connu, et impose d ≥ 20 cm au minimum. C'est par ce terme que le choix de la classe d'exposition agit : à hauteur totale égale, passer de XC2 (40 mm) à XA2 (65 mm) fait tomber la hauteur utile de 40,4 à 37,9 cm sur le cas par défaut.
Calculer les aciers du fond de semelle
Dans la semelle, la charge du poteau descend vers les bords en suivant des « bielles » de béton inclinées : imaginez les pieds d'un tabouret qui s'écartent. Cet écartement tire sur le bas de la semelle : ce sont les aciers de la nappe inférieure qui le retiennent, comme une sangle. La traction à reprendre vaut :
Aciers de nappe — méthode des bielles
N_Ed : effort à l'ELU 1,35G + 1,5Q (N) · A − a : débord total dans le sens considéré (m) · d : hauteur utile (m) · f_yd = f_yk/1,15 ≈ 435 MPa pour un B500 — noté N_u·(B−b)/(8·d·f_e/γ_s) dans la littérature BAEL
On lit la formule ainsi : plus la charge NEd et le débord (A−a) sont grands, plus il faut d'acier ; plus la semelle est haute (d), moins il en faut, car les bielles sont plus redressées et poussent moins vers l'extérieur. Le calcul se fait dans les deux directions, et le résultat est ramené en cm² par mètre de largeur.
Ne pas descendre sous le minimum réglementaire
Même si le calcul donne très peu d'acier, la règle de non-fragilité de l'EC2 (§9.2.1.1), appliquée par analogie à la nappe de semelle, impose un plancher pour éviter une rupture fragile dès la première fissure :
Section minimale de non-fragilité
f_ctm : résistance moyenne du béton en traction (2,6 MPa pour un C25/30, tableau 3.1 de l'EC2) · f_yk : limite d'élasticité de l'acier (500 MPa) · b : 1 m de largeur · d : hauteur utile
À retenir : sur les semelles peu chargées, c'est très souvent ce minimum qui décide de la nappe, pas le calcul des bielles — y compris sur l'exemple par défaut de l'outil.
Vérifier et choisir la nappe
Deux feux verts pour valider : la pression réellement appliquée au sol (poids propre compris) reste sous σadm, et la condition de rigidité de l'étape 2 est respectée. Il ne reste qu'à traduire les cm²/m en barres réelles : l'outil retient le plus petit diamètre courant qui convienne, de HA10 à HA20, posé à l'espacement le plus large possible entre 25 et 10 cm.
Récapitulons sur l'exemple par défaut de l'outil (NEd ELU = 700 kN, ELS = 520 kN, poteau 25 × 25 cm, sol à 0,2 MPa, béton C25/30, exposition XC2) : l'étape 1 demande 2,76 m² poids propre compris, soit une semelle de 1,70 × 1,70 m ; l'étape 2 impose d ≥ (1,70 − 0,25)/4 ≈ 36 cm, d'où h = 45 cm et une hauteur utile de 40,4 cm ; l'étape 3 donne 4,25 cm²/m, relevés à 5,39 cm²/m par le minimum de l'étape 4 ; l'étape 5 retient une nappe HA10 tous les 12,5 cm dans chaque direction, soit 6,28 cm²/m réellement en place. La contrainte effective sous semelle s'établit à 0,191 MPa, sous les 0,2 MPa admissibles.
Abaque : dimensions d'une semelle isolée selon la charge et le sol
Ce tableau donne directement les dimensions en plan et la hauteur d'une semelle carrée, pour une charge de service et une contrainte admissible données. Hypothèses : poteau 30 × 30 cm, béton C25/30, exposition XC2 (enrobage 40 mm), poids propre inclus. Chaque cellule est produite par le moteur de calcul de cette page — les valeurs affichées sont donc exactement celles que l'outil renvoie.
| NEd,ser (ELS) | 0,15 MPa | 0,2 MPa | 0,25 MPa | 0,3 MPa | 0,4 MPa | 0,5 MPa |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 200 kN | 1,20 × 1,20 mh = 30 cm | 1,05 × 1,05 mh = 25 cm | 0,95 × 0,95 mh = 25 cm | 0,85 × 0,85 mh = 25 cm | 0,75 × 0,75 mh = 25 cm | 0,65 × 0,65 mh = 25 cm |
| 400 kN | 1,70 × 1,70 mh = 40 cm | 1,45 × 1,45 mh = 35 cm | 1,30 × 1,30 mh = 30 cm | 1,20 × 1,20 mh = 30 cm | 1,05 × 1,05 mh = 25 cm | 0,95 × 0,95 mh = 25 cm |
| 600 kN | 2,10 × 2,10 mh = 50 cm | 1,80 × 1,80 mh = 45 cm | 1,60 × 1,60 mh = 40 cm | 1,45 × 1,45 mh = 35 cm | 1,25 × 1,25 mh = 30 cm | 1,15 × 1,15 mh = 30 cm |
| 800 kN | 2,45 × 2,45 mh = 60 cm | 2,10 × 2,10 mh = 50 cm | 1,85 × 1,85 mh = 45 cm | 1,70 × 1,70 mh = 40 cm | 1,45 × 1,45 mh = 35 cm | 1,30 × 1,30 mh = 30 cm |
| 1200 kN | 3,05 × 3,05 mh = 75 cm | 2,60 × 2,60 mh = 65 cm | 2,30 × 2,30 mh = 55 cm | 2,05 × 2,05 mh = 50 cm | 1,80 × 1,80 mh = 45 cm | 1,60 × 1,60 mh = 40 cm |
| 1600 kN | 3,55 × 3,55 mh = 90 cm | 3,00 × 3,00 mh = 75 cm | 2,65 × 2,65 mh = 65 cm | 2,40 × 2,40 mh = 60 cm | 2,05 × 2,05 mh = 50 cm | 1,85 × 1,85 mh = 45 cm |
Lecture : une charge de service de 800 kN sur un sol à 0,2 MPa demande une semelle de 2,10 × 2,10 m sur 50 cm de hauteur. Pour un poteau rectangulaire, une charge excentrée ou une autre classe d'exposition, reprenez le calcul dans l'outil ci-dessus.
Dispositions constructives et mise en œuvre
Le calcul ne fait pas tout : le NF DTU 13.1 (septembre 2019), qui a remplacé les DTU 13.11 et 13.12 de 1988, encadre l'exécution des fondations superficielles. Principaux points de vigilance sur chantier :
- Assise hors gel : le NF DTU 13.1 pose le principe — la mise hors gel est assurée par la profondeur d'ancrage de la semelle — sans publier de table de profondeurs. La garde au gel retenue relève donc de l'usage local : de l'ordre d'un demi-mètre en climat océanique doux, plus d'un mètre en zone de montagne, et toujours dans l'horizon porteur retenu par l'étude géotechnique.
- Béton de propreté : le NF DTU 13.1 demande de caler les armatures sur une couche de béton de propreté d'une hauteur minimale de 4 cm, dosée à 150 kg de ciment par m³ au minimum. Elle protège la nappe de la souillure par la terre et garantit l'enrobage en sous-face. Béton de propreté et gros béton sont à couler aussi vite que possible après l'ouverture de la fouille.
- Enrobage et durabilité : l'EC2 §4.4.1.3(4) impose un plancher absolu pour un béton coulé contre le sol. Son annexe nationale française retient 30 mm sur un sol préparé, béton de propreté compris, et 65 mm au contact direct du sol. Ce plancher se combine avec l'exigence de la classe d'exposition : en pratique 40 mm en sous-face pour une fondation courante (XC2), jusqu'à 65 mm en sol agressif (XA2). L'agressivité chimique du sol ou de la nappe s'établit dans le cadre de la mission géotechnique.
- Aciers en attente : la liaison poteau-semelle est assurée par des armatures en attente ancrées dans la semelle, calées avant coulage ; les barres de la nappe sont munies de retours ou de crochets si la longueur d'ancrage droite disponible est insuffisante (EC2 §8.4).
- Étude de sol : la contrainte admissible saisie dans l'outil doit provenir d'une mission G2 au sens de la NF P 94-500. Pour les maisons individuelles en zone d'argiles gonflantes, une étude géotechnique est exigée à la vente du terrain (loi ELAN).
Comment ce calcul est vérifié
Le moteur de cet outil est couvert par une suite de 23 tests automatisés construite sur des références extérieures — la norme, ses tableaux et la géométrie exacte —, et non sur ses propres sorties.
- Les valeurs et les formules de l'Eurocode 2 sont reprises indépendamment du moteur. Les résistances du béton en traction du catalogue sont mises en regard du tableau 3.1 de la NF EN 1992-1-1. Les trois bétons proposés y sont retrouvés à moins de 0,05 MPa près. La relation des bielles et la section minimale de non-fragilité sont, elles, réécrites dans les tests puis comparées aux sorties de l'outil, sur tous les bétons et toutes les expositions. L'écart admis est nul.
- L'abaque et le tableau des sols publiés sur cette page sont produits par le moteur lui-même. Les 36 dimensions de l'abaque ne sont pas recopiées : elles sortent du calcul que l'outil exécute. Un écart entre ce que la page montre et ce que l'outil renvoie est donc impossible. Le sens de lecture est vérifié lui aussi : plus de charge élargit la semelle, plus de portance la rétrécit.
- Le poids propre de la semelle est toujours porté par la surface adoptée. Sur seize couples de charge et de contrainte admissible, la semelle retenue reprend la charge de service augmentée de son propre poids, sans jamais dépasser la contrainte admissible du sol. Cela vaut aussi sur sol faible, où la semelle s'épaissit et finit par peser jusqu'à 17,7 % de la charge portée.
- L'exemple résolu publié plus haut est recalculé à chaque exécution des tests, des dimensions en plan jusqu'à la nappe retenue. S'il dérivait d'un chiffre, les tests échoueraient.
- Les saisies dégradées ne produisent jamais de résultat trompeur. Champ laissé vide, texte à la place d'un nombre, charge négative, poteau plus large que la semelle nécessaire : le calcul rend une géométrie cohérente, jamais
NaNni dimension nulle. Une semelle n'est jamais plus étroite que le poteau qu'elle porte.
Références
- NF EN 1992-1-1 (octobre 2005), indice de classement P 18-711-1 — Eurocode 2, Calcul des structures en béton, Partie 1-1 : règles générales et règles pour les bâtiments. Source de la résistance moyenne en traction fctm (tableau 3.1), du coefficient partiel de l'acier γS = 1,15, de la section minimale de non-fragilité (§9.2.1.1), du modèle bielles-tirants (§6.5), des règles d'ancrage (§8.4), du poinçonnement des semelles (§6.4.4) et des règles d'enrobage (§4.4.1.3).
- NF EN 1997-1 (juin 2005) — Eurocode 7, Calcul géotechnique, Partie 1 : règles générales, reprise de l'EN 1997-1:2004. Source du principe de justification du contact sol-fondation à l'état limite de service.
- NF EN 1991-1-1 (mars 2003) — Eurocode 1, Actions sur les structures, Partie 1-1. Annexe A : poids volumique du béton de granulats normaux (24 kN/m³), majoré de 1 kN/m³ au titre des armatures, d'où les 25 kN/m³ employés pour le poids propre.
- NF DTU 13.1 (septembre 2019) — Fondations superficielles. Il annule et remplace le DTU 13.11 (P 11-211, mars 1988, et son amendement A1 de juin 1997) ainsi que le DTU 13.12 (P 11-711, mars 1988), « Règles pour le calcul des fondations superficielles », dont l'annexe portait la méthode des bielles employée ici. Source du béton de propreté (hauteur minimale 4 cm, dosage minimal 150 kg/m³) et du principe de mise hors gel par la profondeur d'ancrage.
- NF P 94-500 (novembre 2013) — Missions d'ingénierie géotechnique, classification et spécifications. Définit la mission G2, étude géotechnique de conception, qui fournit la contrainte admissible à saisir dans l'outil.
- Annexe nationale française à l'EC2, pour les valeurs k1 = 30 mm (béton coulé contre un sol préparé, béton de propreté compris) et k2 = 65 mm (béton coulé au contact direct du sol) de l'article 4.4.1.3(4) — telles que rappelées par la fiche Détermination et optimisation de l'enrobage des armatures d'Infociments.
- Semelle isolée centrée, sous charge verticale. L'outil traite le poteau posé au centre de sa semelle, sans moment en pied ni excentrement. Une charge excentrée, un poteau de rive ou d'angle produisent un diagramme de contraintes trapézoïdal et appellent une vérification au renversement : ce sont d'autres calculs. Pour un mur ou un voile, c'est une semelle filante — charge linéaire en kN/m — qu'il faut dimensionner, pas une semelle isolée.
- Semelle rigide, au sens de la méthode des bielles. Le dimensionnement retient la hauteur utile minimale d = (A−a)/4, avec un plancher de 20 cm, et une nappe HA12 supposée tant que le ferraillage n'est pas arrêté. Dans ce cadre, le cisaillement et la compression des bielles ne sont pas à vérifier ; une justification menée strictement selon l'EC2 §6.4.4 demanderait en plus un contrôle du poinçonnement sur un contour recherché à moins de 2·d, que l'outil ne conduit pas.
- La contrainte admissible est une donnée d'entrée, pas un résultat. L'outil ne calcule ni la capacité portante du sol ni les tassements : il vérifie que la pression appliquée reste sous la valeur que vous saisissez. Cette valeur relève de la mission géotechnique G2 (NF P 94-500) ; les repères par nature de sol donnés plus haut ne servent qu'au cadrage d'avant-projet.
- Le poids propre est intégré, le remblai au-dessus de la semelle ne l'est pas. La pression au sol tient compte du poids de la semelle elle-même (25 kN/m³, itéré jusqu'à convergence) mais pas des terres qui la recouvrent après remblaiement. Sur une assise profonde, ce poids de terre s'ajoute et se saisit en majorant l'effort de service.
Questions Fréquentes (FAQ)
Pour aller plus loin